La principe fondamentale de la statique (PFS)

       Principe fondamental de la statique

Le principe fondamental de la statique (PFS) exprime les conditions d'équilibre d'un solide indéformable dans un référentiel.

Un objet est à l'équilibre lorsqu'il a un mouvement rectiligne uniforme (son moment dynamique est nul en tous points, ce qui implique que son accélération linéaire et son accélération angulaire soient nulles). Souvent, on considère le cas d'un objet mobile.

Énoncé avec les forces et les moments

Considérons un solide soumis à un ensemble de forces extérieures ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{2}}$, …, ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{n}}$, et de couples extérieurs ${\displaystyle {\vec {\mathrm {C} }}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {\mathrm {C} }}_{2}}$, …, ${\displaystyle {\vec {\mathrm {C} }}_{m}}$. Considérons un point A quelconque de l'espace. Alors, le solide est en équilibre par rapport à un référentiel galiléen si la somme des forces est nulle et si la somme des moments des forces par rapport à A et des couples est nulle :

théorème de la résultante statique : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\vec {\mathrm {F} }}_{i}={\vec {0}}}$ ;

théorème du moment statique : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\vec {\mathrm {M} }}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {F} }}_{i})+\sum _{i=1}^{m}{\vec {\mathrm {C} }}_{i}={\vec {0}}}$.

En général, on ne choisit pas le point A au hasard : pour simplifier les calculs, on prend le point d'application d'une force inconnue, et lorsque plusieurs forces sont inconnues, on prend le point d'application de la force « la moins connue » (celle dont on ne connaît ni l'intensité, ni la direction).

Remarques :

• Il est essentiel que le référentiel soit galiléen. Comme contre-exemple, on peut prendre un objet posé sans frottement (ou frottement négligeable) sur la banquette d'une automobile qui freine brusquement. La somme des forces intérieur exercées sur l'objet est nulle (le poids vertical est compensé par la réaction verticale de la banquette) et pourtant l'objet ne reste pas immobile, dans le référentiel de l'automobile.
• Si le référentiel n'est pas galiléen, on ne peut théoriquement pas utiliser le principe. On peut cependant travailler dans ce référentiel comme s'il était galiléen, à condition de prendre en compte des termes correctifs que l'on appelle forces d'inertie.

Dans le cas d'un problème plan, on peut se contenter d'exprimer les moments par un nombre (la composante sur un axe perpendiculaire au plan) et non un vecteur, on écrit alors pour la deuxième condition :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm {M} _{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {F} }}_{i})+\sum _{i=1}^{m}\mathrm {C} _{i}=0}$.

Notons que le moment d'une force ${\displaystyle {\vec {\mathrm {F} }}_{i}}$ par rapport à A est également souvent noté

${\displaystyle {\vec {\mathrm {M} }}_{{\vec {\mathrm {F} }}_{i}/\mathrm {A} }}$,

la deuxième condition s'écrit alors :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\vec {\mathrm {M} }}_{{\vec {\mathrm {F} }}_{i}/\mathrm {A} }+\sum _{i=1}^{m}{\vec {\mathrm {C} }}_{i}={\vec {0}}}$.

Énoncé avec les torseurs

Considérons un solide 0 soumis à un ensemble d'actions mécaniques extérieures représentées par les torseurs statiques ${\displaystyle \{{\mathcal {T}}_{1/0}\}}$, ${\displaystyle \{{\mathcal {T}}_{2/0}\}}$, …, ${\displaystyle \{{\mathcal {T}}_{n/0}\}}$. Alors, le solide est en équilibre par rapport à un référentiel galiléen si la résultante des actions extérieures est nulle :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\{{\mathcal {T}}_{i/0}\}=\{0\}}$.

On note ℰ l'espace réel. On voit en fait que l'équation du moment statique

${\displaystyle \forall \mathrm {A} \in {\mathcal {E}},\sum {\vec {\mathcal {M}}}_{i/0}(\mathrm {A} )={\vec {0}}}$

suffit seule à établir l'équilibre. En effet, les torseurs sont des champs de vecteurs, ici les champs de moments de forces, donc la somme de torseurs est en fait la somme des moments. La résultante d'un torseur n'est qu'une propriété de ce champ ; l'équation de la résultante

${\displaystyle \sum {\vec {\mathcal {R}}}_{i/0}={\vec {0}}}$

dérive de l'équation des moments par les propriétés d'addition des torseurs.

Dans la pratique, il est plus aisé de vérifier l'équation de la résultante d'une part, et l'équation des moments en un point donné d'autre part, plutôt que de vérifier l'équation des moments en tout point.

Pour simplifier les calculs, on transporte tous les torseurs au point d'application d'une action inconnue (point où la réduction du torseur de cette action est un glisseur), et lorsque plusieurs actions sont inconnues, on prend le point d'application de l'action « la moins connue » (celle ayant le plus de composantes inconnues). En effet, plus les termes du produit vectoriel comporte d'inconnues, plus le calcul est malaisé.